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Fatiando um círculo

Um ângulo é a medida da rotação ou da separação entre dois raios, e as unidades usadas para descrevê-lo são essencialmente formas diferentes de fatiar o mesmo círculo. O grau o divide em 360 cunhas, o grado em 400, o mil da OTAN em 6400, e o radiano — o estranho da turma — define o ângulo cujo comprimento de arco é igual ao raio, dando exatamente 2π radianos por volta.

Uma herança babilônica

O círculo de 360 graus remonta à aritmética babilônica de base 60, um sistema tão bem adaptado a frações que sobreviveu na cronometragem e na navegação modernas. Minutos de arco (1/60°) e segundos de arco (1/3600°) preservam essa lógica sexagesimal até hoje. O radiano, ao contrário, é um filho do cálculo do século XVIII — natural porque torna a derivada do seno igual ao cosseno sem nenhum fator de conversão estranho. O grado foi um empurrão revolucionário francês rumo à decimalização que falhou em grande parte, exceto na agrimensura e em parte do cadastro continental.

Onde cada unidade aparece hoje

Os graus dominam o cotidiano, a navegação e os controles de máquinas. Os radianos dominam a física, o cálculo e qualquer código que invoque uma função trigonométrica — sin(π) funciona precisamente porque os radianos são razões adimensionais. Astrônomos ainda falam em segundos de arco ao descrever paralaxe estelar ou resolução de telescópios, coordenadas GPS usam a notação grau-minuto-segundo, e miliradianos (mrad) são padrão em miras de rifles e ópticas a laser.

A armadilha do mil e outros laços

O erro mais comum é confundir um miliradiano com um mil da OTAN. Um mrad verdadeiro dá 6283,19 por círculo; um mil de artilharia da OTAN dá exatamente 6400, arredondado para a aritmética mental, de modo que um mil subtende aproximadamente um metro a um quilômetro. Miras rotuladas como "mil-dot" quase sempre significam mrad, não mils da OTAN, apesar do apelido em comum. Mais duas armadilhas: esquecer que calculadoras em modo de graus distorcem silenciosamente fórmulas baseadas em radianos, e supor que grados e graus são intercambiáveis ao ler plantas de levantamento europeias, em que 100 gons (não 90 graus) marcam um ângulo reto.